3.6. Explorando: elementos de geometria espacial e volumes

Nesta seção, exploraremos elementos básicos de geometria espacial e suas relações com os objetivos de estimular a percepção espacial e de construir a linguagem necessária para estudar alguns sólidos clássicos.

Atividade: motivação

Parte 1

Observe as figuras a seguir e decida se, em cada uma delas, os segmentos destacados em vermelho têm o mesmo comprimento. Explique a sua resposta.

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Parte 2

A figura sugere a imagem de um cubo do qual um pedaço foi retirado gerando uma superfície plana circular.

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Isso é possível? Ou seja, é possível retirar um pedaço de um cubo por meio de um único corte, como sugere a figura, gerando uma superfície plana circular? Argumente para justificar a sua resposta ao item anterior a partir da relação entre os pontos os \(A\), \(B\) e \(C\), que, na figura, estão na intersecção da face do cubo e da superfície plana circular.

Atividade: reconhecimento de elementos

Para o professor:

Objetivos específicos

[Identificar elementos] OE10. Reconhecer (identificar e nomear) elementos básicos da geometria espacial que são necessários para volumes e relacioná-los entre eles (e.g., posições relativas de planos (ver o que é realmente necessário aqui)). (vértices de sólidos, planos paralelos, perpendicularidade entre reta plano, distância de ponto a plano e retas reversas no espaço)

Conceitos abordados: Reta, plano, posições relativas de retas e retas, retas e planos e, planos e planos, colinearidade, coplanaridade.

Organização em sala de aula: Para esta atividade espera-se que os estudantes estejam divididos em grupos de mais do que 2 estudantes (4 ou 5 é o ideal).

Dificuldades previstas: A percepção e a representação de objetos de geometria espacial oferece diversos desafios. Por exemplo, comumente um plano é representado por um retângulo ou um paparalelogramo. Não é raro que os estudantes confundam essas figuras, não reconhecendo que o plano é infinito, por exemplo. O papel do professor nas discussões será fundamental para diferenciar a ideia abstrata de plano de suas representações.

Uma sugestão é que o professor apresente uma folha cortada de forma irregular (com as bordas não retilíneas, por exemplo) e pergunte aos estudantes se a folha ainda poderia representar um plano. Isso deve ajudar o estudante a perceber que o plano é ilimitado, logo se dois planos distintos se intersectam em um ponto, então eles se intersectam em uma reta inteira.

Sugestões gerais: Deixe os materiais concretos que você trouxe à disposição dos estudantes para que os utilizem para desenvolver a sua intuição de reta e plano.

Considere não solicitar que seus estudantes escrevam as suas soluções, mas que a atividade seja um guia de discussões.

Evite deixar o fechamento para o final da atividade. Os estudantes costumam se concentrar por pouco tempo no que você está dizendo, então falar pouco tempo em cada interação pode ajudar na compreensão do que está sendo dito.

Materiais necessários: Canudos ou lápis e folhas de papel à vontade (melhor se houver folhas de cores diferentes)

Parte 1

Para responder às perguntas, procure imaginar pontos, retas e planos no espaço. Se necessário, use desenhos ou material concreto, tais como folhas de papel, para representar planos, e lápis, canetas ou canudos para representar retas. Lembre-se: pontos são adimensionais, retas unidimensionais, planos bidimensionais e o espaço tridimensional.

  1. Considere um ponto \(A\) no espaço. Quantas retas no espaço contêm \(A\)?
  2. Existe reta no espaço que não contenha \(A\)? Se sim, quantas?
  3. Considere agora dois pontos distintos \(A\) e \(B\) no espaço. Quantas são as retas que contêm \(A\) e \(B\)?
  4. Considere agora duas retas \(r\) e \(s\) paralelas. Existe algum plano no espaço que contenha \(r\) e contenha \(s\), ou seja, essas retas são coplanares?
  5. Considere duas retas \(r\) e \(t\) no espaço tais que \(r\) e \(t\) não têm ponto comum, ou seja, não se intersectam. As retas \(r\) e \(t\) são necessariamente paralelas? Explique a sua resposta. Pode ser com um desenho.
  6. As retas \(r\) e \(t\) do item anterior são coplanares?
  7. Explique por que dadas duas retas distintas no espaço, elas necessariamente são concorrentes, paralelas ou reversas (ou seja, não coplanares).

Parte 2

Considere três pontos \(A\), \(B\) e \(C\) no espaço. Suponha que os pontos \(A\), \(B\) e \(C\) não são colineares, isto é, que nenhuma reta contenha todos os três pontos.

  1. Quantas são as retas que contêm ao menos dois destes pontos?
  2. Estamos considerando três pontos não colineares. Esse pontos são coplanares? Isto é, existe um plano que contenha todos os três pontos?
  3. Existem dois planos diferentes que contenham os mesmos três pontos não colineares, \(A\), \(B\) e \(C\)?
  4. Considere um quarto ponto \(D\) no espaço. Este ponto é necessariamente coplanar com os pontos \(A\), \(B\) e \(C\)?
  5. Em uma folha de papel, faça um desenho que represente quatro pontos não coplanares e faça os segmentos de reta ligando cada dois destes pontos. Busque deixar claro o que está na frente e o que está atrás na sua figura.

Parte 3

Use este aplicativo ou folhas de papel para visualizar e responder às perguntas:

  1. Em quantas regiões um plano divide o espaço?
  2. Quais são as possibilidades para o conjunto interseção de dois planos no espaço?
  3. Em quantas regiões dois planos dividem o espaço?
  4. É possível que a interseção de dois planos seja exatamente um ponto? Por quê?

Parte 4

Posições relativas de retas e planos.

  1. É possível que uma reta intersecte um plano em exatamente dois pontos? Por quê?
  2. Pode haver uma reta e um plano que não se intersectam no espaço? Faça uma figura para ilustrar a sua resposta.
  3. Represente por desenho as possíveis posições relativas entre um plano e uma reta no espaço.

Você deve se lembrar que no plano duas retas são perpendiculares quando se intersectam em um ponto e dividem o plano em quatro regiões congruentes (iguais). Precisamos dizer aqui quando uma reta é perpendicular a um plano. Mas antes vejamos se você tem uma boa intuição e já consegue identificar perpendicularismo entre reta e plano.

Em cada um dos casos a seguir diga se a reta \(r\) parece ou não parece perpendicular ao plano \(\alpha\), na sua opinião.

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Definição: Dizemos que uma reta é perpendicular a um plano quando existirem duas retas desse plano que sejam concorrentes e perpendiculares a ela.

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Observe que nos casos em que a reta \(r\) não é perpendicular ao plano alfa, existe apenas uma reta de \(\alpha\) que é perpendicular à reta \(r\).

Atividade: agrupando sólidos

Para o professor:

Objetivos específicos:

[Identificar elementos] OE11. Entender (analisar, segundo Van Hiele) os sólidos clássicos por meio de suas propriedades e não apenas por associação e semelhança (visualização, segundo Van Hiele).

Organização em sala de aula: Espera-se que sejam realizadas discussões críticas sobre as classificações dos objetos.

Dificuldades previstas: Os estudantes podem querer juntar os “corpos redondos” entre si. Não há problema neste tipo de agrupamento.

Sugestões gerais: Os estudantes não precisam realmente lembrar os nomes dos sólidos aqui apresentados para desenvolverem a atividade. Espera-se aqui que eles realmente sejam criativos e observadores sobre as características comuns aos objetos.

Descreva três critérios para agrupar os sólidos apresentados nas figuras de modo que a quantidade de diferentes grupos obtidas a partir de cada um deles seja diferente. Qual critério determinou a menor quantidade de grupos?

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